一道题讲透：如何破解几何难题中那个恼人的“BF”

【来源：易教网 更新时间：2026-02-05】

你好，我是数学哥。

最近在后台，看到不少同学在问一类问题。题目里，三角形画得那叫一个复杂，线条纵横交错，条件七拐八绕，最后冷不丁问一句：“求线段BF的长度”。

看到这个“BF”，很多同学心里就“咯噔”一下。它好像总是藏在图形最深处，不直接给长度，也不在某个直角三角形里等着你用勾股定理。它像个安静的考官，笑眯眯地看着你在草稿纸上画出一条又一条辅助线，然后默默否定你的思路。

别慌。今天数学哥不给你罗列十种八种模型，咱们就盯着一道题，往深里挖，看看这个“BF”到底有多少种“打开方式”。你会发现，所谓的难题，不过是几个基本想法换着花样组合。

咱们先看题。

问题呈现

在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( \angle BAC = 90^\circ \)。点 \( D \) 是 \( BC \) 边上的一个动点（不与 \( B, C \) 重合）。连接 \( AD \)。

以 \( AD \) 为边，在 \( AD \) 的右侧作等腰直角三角形 \( ADE \)，使得 \( \angle ADE = 90^\circ \)，\( AD = DE \)。连接 \( BE \)，取 \( BE \) 的中点 \( F \)，连接 \( AF \)、\( CF \)。

已知 \( AB = 4 \)，当 \( BD = \sqrt{2} \) 时，求线段 \( CF \) 的长度。

（为简化，我们直接将所求线段设为CF，其本质与求解特定情境下的“BF”类线段无异）

题目读完，图形在脑子里大概有了吧？等腰直角套着等腰直角，中点，动点……要素很齐全。我们的目标：CF。

直接看，CF在哪？在 \( \triangle BCF \) 里？可这个三角形我们几乎一无所知。在 \( \triangle ACF \) 里？AC知道是4，AF和\( \angle CAF \)呢？不知道。

这时候，你需要的第一种品质不是聪明，是耐心。耐下心来看条件，一个一个地“翻译”。

第一步：稳住阵脚，翻译条件

1. “\( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( \angle BAC = 90^\circ \)”：翻译过来，\( \triangle ABC \) 是一个等腰直角三角形。直角顶点是A，两腰长 \( AB=AC=4 \)。

斜边 \( BC = 4\sqrt{2} \)。这是我们的主战场。

2. “点 \( D \) 是 \( BC \) 边上的动点”：D在斜边BC上跑。但别怕，它现在停在了 \( BD=\sqrt{2} \) 这个具体位置。我们可以算出 \( CD = BC - BD = 4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)。

动点变成了定点，题目其实简化了。

3. “以 \( AD \) 为边，在右侧作等腰直角三角形 \( ADE \)”：这是第二个核心结构。\( \triangle ADE \) 也是等腰直角，直角顶点是D（因为 \( \angle ADE=90^\circ \)，且 \( AD=DE \)）。

注意“在右侧作”，这基本确定了E点的方位，避免多解讨论。

4. “取 \( BE \) 的中点 \( F \)”：中点！看到中点，你脑海里应该像条件反射一样，弹出好几个备选动作：倍长中线、构造中位线、直角三角形斜边中线。先存着。

5. 目标：求 \( CF \)。

图形固定了，条件翻译了。现在，CF像一座孤岛，我们需要架桥过去。从哪里架桥？从我们熟悉的地方。

第二步：寻找桥梁，全等开路

我们最熟悉的是什么？是那个大的等腰直角 \( \triangle ABC \)，以及它的边长。CF看起来离A点和B点更近。F是BE中点，E是由AD“旋转”90度得来的。这里有没有全等？

仔细观察 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle ACE \)。看看它们：

* \( AB = AC \)（由条件1）。

* \( AD = AE \)（因为 \( \triangle ADE \) 是等腰直角）。

* 夹角呢？\( \angle BAD \) 和 \( \angle CAE \) 相等吗？

\( \angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 90^\circ - \angle DAC \)。

\( \angle CAE = \angle DAE - \angle DAC = 90^\circ - \angle DAC \)。

所以，\( \angle BAD = \angle CAE \)。

SAS条件齐了。所以 \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)。

这个全等非常关键。它意味着：

* \( CE = BD = \sqrt{2} \)。

* \( \angle ACE = \angle ABD = 45^\circ \)（因为 \( \angle ABD \) 是等腰直角三角形底角）。

好了，我们通过全等，把已知的BD长度，“搬运”到了CE上。现在我们知道 \( CE = \sqrt{2} \)。但CF还是没出来。

第三步：中点登场，倍长构造

F是BE的中点。中点怎么用？我们试试倍长中线。这是处理中点问题最经典、最有力的工具之一。

在初中几何里，“倍长中线”的本质是构造中心对称的全等三角形，从而将分散的条件集中到一个三角形里。

我们选择倍长哪条线？既然F是BE中点，那么BF=EF。很自然地，我们可以尝试倍长CF，或者倍长AF，或者倍长DF？让我们看看连接了谁。

目标是CF，我们不妨试着倍长CF看看。延长CF到点G，使得 \( FG = CF \)。连接BG、EG。

现在，因为F是BE中点，也是CG中点，所以四边形BCGE是平行四边形（对角线互相平分）。

这意味着 \( BG \parallel CE \) 且 \( BG = CE = \sqrt{2} \)。

太棒了！我们通过“倍长CF”构造出平行四边形，成功地把已知长度CE平行移动到了BG上，并且BG就在 \( \triangle ABC \) 所在的这片区域。

现在，看看我们有什么：在 \( \triangle ABG \) 中，\( AB=4 \)，\( BG=\sqrt{2} \)，我们只需要知道 \( \angle ABG \) 或者 \( AG \)，就能用余弦定理或勾股定理（如果构成直角）求AG，进而求CF（因为CF是CG的一半，而CG可能和AG有关）。

第四步：角度分析，锁定关键

\( \angle ABG \) 是多少？因为 \( BG \parallel CE \)，所以 \( \angle ABG = \angle ABC + \angle CBG \)。

* \( \angle ABC = 45^\circ \)。

* \( \angle CBG = \angle BCE \)（内错角相等，因为BG//CE）。而 \( \angle BCE = \angle BCA + \angle ACE = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \)。

所以，\( \angle ABG = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \)。

在 \( \triangle ABG \) 中，我们知道了两边 \( AB=4 \)，\( BG=\sqrt{2} \)，及其夹角 \( \angle ABG=135^\circ \)。这不正是余弦定理的用武之地吗？

根据余弦定理：

\( AG^2 = AB^2 + BG^2 - 2 \cdot AB \cdot BG \cdot \cos \angle ABG \)

代入数据：

\( AG^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ \)

计算：\( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( AG^2 = 16 + 2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \)

\( AG^2 = 18 - [ 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) ] \)

注意计算：\( 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 4 \cdot (-\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1}) \cdot 2? \) 我们一步步来：

先算 \( 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)。

\( 8\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 8 \cdot (-\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}) = 8 \cdot (-\frac{2}{2}) = -8 \)。

所以，\( AG^2 = 18 - (-8) = 18 + 8 = 26 \)。

故 \( AG = \sqrt{26} \)。

第五步：回溯求解，水到渠成

AG求出来了，CF呢？我们的构造是：倍长CF至G，连接BG、EG，得到平行四边形BCGE。

在平行四边形中，对角线互相平分，所以 \( CG = 2CF \)。

但是，CG和AG是什么关系？在我们的构造图里，A、G、C三点共线吗？并不一定。所以我们需要找到CG的长度。

别急，我们还有一个关键信息没用——平行四边形的性质。我们只用了 \( BG=CE \) 和 \( BG \parallel CE \)。现在看对角线。平行四边形对角线平方和等于四边平方和。对于平行四边形BCGE，有：

\( BE^2 + CG^2 = 2(BC^2 + CE^2) \)。

这里BC和CE都知道，BE可以求吗？可以。

回到最初的 \( \triangle ABE \)。我们知道AB=4，AE=AD。AD可以在 \( \triangle ABD \) 中用余弦定理求出。

在 \( \triangle ABD \) 中，\( AB=4 \)，\( BD=\sqrt{2} \)，\( \angle ABD=45^\circ \)。

\( AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos 45^\circ \)

\( AD^2 = 16 + 2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( AD^2 = 18 - ( 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ) = 18 - (8 \cdot \frac{2}{2}) = 18 - 8 = 10 \)

所以 \( AD = \sqrt{10} \)，则 \( AE = \sqrt{10} \)。

现在 \( \triangle ABE \) 中，\( AB=4 \)，\( AE=\sqrt{10} \)，\( \angle BAE = \angle BAD + \angle DAE \)。

\( \angle BAD \) 可在 \( \triangle ABD \) 中用余弦定理解出，但计算较繁。或许有更简单的方法。

我们换一条路。既然AG已经求出，我们能不能直接求CG？看看 \( \triangle ACG \)。我们知道AC=4，AG=\sqrt{26}，如果知道 \( \angle CAG \) 就好了。

但 \( \angle CAG = \angle CAB + \angle BAG \)，\( \angle BAG \) 可以从 \( \triangle ABG \) 中用正弦定理求出，也麻烦。

让我们重新审视“倍长CF”后的图形。我们构造了平行四边形BCGE。那么，点G其实是点C关于点F旋转180°得到的对称点。我们最初的全等 \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)，告诉我们CE的长度和方向。而BG=CE，且BG//CE。

注意，我们最初有 \( \angle ACE = 45^\circ \)，所以CE与AC的夹角是45°。因为BG//CE，且BC是固定的，我们可以试着确定G的位置。更直接的方法是：连接CG。在平行四边形中，\( CG = 2CF \)，且\( CG \)和\( BE \)互相平分。

如果我们能求出\( BE \)，或许能利用直角三角形斜边中线定理？

等等，F是BE中点。如果 \( \triangle ABE \) 是直角三角形就好了。检查一下 \( \angle BAE \)：

因为 \( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)，所以 \( \angle CAE = \angle BAD \)。

那么 \( \angle BAE = \angle BAC + \angle CAE = 90^\circ + \angle CAE = 90^\circ + \angle BAD \)。

这显然不等于90度，除非D在特定位置。所以不是直角。

看来，从BE直接求CF有点绕。我们回到AG=\sqrt{26}。既然我们构造了平行四边形，那么向量CG = 向量BE。或许用坐标法更直观？但题目要求纯几何。

我们还有一个大杀器没动用——中点，除了倍长，还能构造中位线。

第六步：另辟蹊径，中位线巧解

让我们放弃刚才的倍长CF思路（它帮我们求出了AG，但没直接打通到CF），试试另一种中点的用法。

F是BE中点。能不能构造一个以BE为一边的三角形的中位线？

观察图形，A、B、C、D、E中，哪些点可以和F构成中位线？连接AC，F和AC有什么关系？没有直接关系。

但是，我们有一个非常重要的点——点D。它是原始动点，连接了A和E。看看四边形ABDE。F是BE中点，A是顶点，D是顶点。如果我们取AD的中点呢？

取AD的中点M。连接FM。

在 \( \triangle ABE \) 中，F是BE中点。如果M是AD中点，那么MF是 \( \triangle ADE \) 的中位线吗？不完全是。M在AD上，F在BE上。

等等，在 \( \triangle ABD \) 中？也不对。

换一种连接：在 \( \triangle BCE \) 中，F是BE中点。如果我们能找到BC边的中点，就能构造出中位线。BC的中点，记作N。那么N是定点（因为 \( \triangle ABC \) 是等腰直角，BC中点N也是斜边中点）。

连接FN。则FN是 \( \triangle BCE \) 的中位线。

所以，\( FN \parallel CE \) 且 \( FN = \frac{1}{2} CE = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。

而且，我们知道 \( CE \perp AC \)（因为 \( \angle ACE=45^\circ \)，\( \angle ACB=45^\circ \)，所以 \( \angle BCE=90^\circ \)）。

由于 \( FN \parallel CE \)，所以 \( FN \perp AC \)。

现在，我们有了一个包含F的直角三角形吗？看 \( \triangle AFN \)？AN可求（斜边中线等于斜边一半，\( AN = \frac{1}{2} BC = 2\sqrt{2} \)），FN已知，如果知道AF或\( \angle ANF \)，也许能求AF，然后结合AC等求CF？

还是有点远。

但注意，我们构造了FN，它平行且等于CE的一半。而CE我们是知道的。现在看我们的目标CF。CF在 \( \triangle CFN \) 中吗？CN是斜边中线长 \( 2\sqrt{2} \)，FN是 \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)，但\( \angle CNF \)未知。

不过，我们离得很近了。因为我们有FN，还有AC。注意，\( FN \perp AC \)，而 \( CN \) 在直线BC上。如果我们过F作AC的垂线……这似乎又在构造新的图形。

其实，走到这里，最简洁的路线已经浮现了。我们通过中位线FN，将未知的CF与已知的CN、FN联系了起来。

在 \( \triangle CFN \) 中，\( CN=2\sqrt{2} \)，\( FN=\frac{\sqrt{2}}{2} \)，要求CF，只需知道\( \angle CNF \)或\( \angle FNC \)。

\( \angle CNF \) 等于多少？因为 \( FN \parallel CE \)，所以 \( \angle CNF = \angle NCE \)（内错角）。

\( \angle NCE = \angle NCB + \angle BCE \)。

\( \angle NCB = 45^\circ \)（CN是斜边中线，也是角平分线）。

\( \angle BCE = 90^\circ \)（前文已证）。

所以 \( \angle NCE = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \)。

因此，\( \angle CNF = 135^\circ \)。

好了！在 \( \triangle CFN \) 中，我们知道了两边 \( CN=2\sqrt{2} \)，\( FN=\frac{\sqrt{2}}{2} \)，及其夹角 \( \angle CNF=135^\circ \)。再次使用余弦定理：

\( CF^2 = CN^2 + FN^2 - 2 \cdot CN \cdot FN \cdot \cos 135^\circ \)

代入：

\( CF^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 135^\circ \)

\( CF^2 = 8 + \frac{1}{2} - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \) （注意，这里要仔细计算系数）

我们更仔细地算最后一项：

\( 2 \cdot CN \cdot FN = 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{2}{2} = 4 \)。

所以，\( - 2 \cdot CN \cdot FN \cdot \cos 135^\circ = - 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2} \)。

因此：

\( CF^2 = 8 + \frac{1}{2} + 2\sqrt{2} = \frac{16+1}{2} + 2\sqrt{2} = \frac{17}{2} + 2\sqrt{2} \)。

所以 \( CF = \sqrt{\frac{17}{2} + 2\sqrt{2}} \)。

这个形式可以简化吗？\( \frac{17}{2} + 2\sqrt{2} = \frac{17 + 4\sqrt{2}}{2} \)。\( 17+4\sqrt{2} \) 不是一个完全平方数，所以答案就保留这个根式形式。

因此，\( CF = \sqrt{\frac{17 + 4\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{34 + 8\sqrt{2}}}{2} \)。

思维升华

回过头看，这道题求解CF（也就是我们最初说的那个“BF”类线段），我们动用了几乎所有核心武器：

1. 全等三角形：作为开局，转移已知长度和角度，\( \triangle ABD \cong \triangle ACE \)。

2. 倍长中线：一种尝试，虽然没直接求出CF，但帮助我们理解了图形结构，求出了AG，锻炼了构造能力。

3. 中位线定理：这是本题最巧妙的破局点。通过取BC中点N，构造出 \( \triangle BCE \) 的中位线FN，将CF置于一个已知两边及其夹角的 \( \triangle CFN \) 中。

4. 余弦定理：在知道两边夹角的情况下，计算第三边的利器。公式 \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C \) 要牢记。

所以，下次你再遇到那个躲在复杂图形里的“BF”，别急着画线。先问自己：

* 有没有全等或相似，能转移边角？

* 有没有中点，能倍长或构造中位线？

* 条件是否集中到了某个三角形里，可以用勾股、余弦来算？

数学题的魅力，就在于你用已知的、有限的工具，去搭建通往未知的桥梁。每种方法都是一块积木，题目越难，需要的积木就越多，搭建的方式也越需要巧思。

希望这道题，能让你对“求解线段长度”这个问题，有更深一层的理解。不是记住模型，而是理解每个动作背后的意图。

我是数学哥，我们下次见。