高中数学那些笑到拍桌又哭到肝疼的经典梗，老船长当年全中过

【来源：易教网 更新时间：2026-10-30】

上周在食堂吃饭，听见隔壁桌两个高中生扯着嗓子唠：“你昨天做那道三角函数题没？奇变偶不变我背了三遍还是符号看错了！”“害，别说你了，我昨天洛必达洛到老师都看不下去，说我这叫‘无差别攻击式洛必达’，不管啥题先洛了再说。

”旁边还有个小丫头抱着试卷哭，说解析几何算了四十分钟，最后答案是个0，感觉这四十分钟都喂了狗。

当年我带高三的时候，这种对话每天能听八百遍，每次听见都想拍着桌子说一句：“得，这不都是我们当年玩剩下的梗吗？”今天就把这些年在学生堆里攒下来的经典数学梗拎出来说说，每一个都是血泪堆出来的，看完你要是没中过，我请你喝奶茶。

奇变偶不变：背得滚瓜烂熟，一用就废的“通关密码”

这句话估计是所有高中生背得最熟的一句数学口诀，没有之一。

我上学的时候，同桌把这句话写了修正带上，每做一道三角函数题就掏出来看一眼，结果第一次月考，碰到一道题是求\( \sin(2\alpha + \frac{\pi}{6}) \)的值，已知\( \cos\alpha = \frac{1}{3} \)，α是第四象限角，他盯着题看了十分钟，最后填了个\( \frac{1}{3} \)，因为“2是偶数，所以奇变偶不变，符号不用变”，当场被老师拎到讲台上当众批判。

很多学生都有这个毛病，把口诀当救命稻草，死记硬背完全不求甚解。

其实这句话的原理特别简单：π对应180°，诱导公式\( \sin(k\pi \pm \alpha) \)里，k是整数，k为奇数时就是“奇变”，符号和\( \sin\alpha \)相反，k为偶数时就是“偶不变”，符号和\( \sin\alpha \)一致，后面的“符号看象限”是指把α当成锐角，看整个角\( k\pi \pm \alpha \)的终边落在第几象限，按照三角函数的符号规则定最终符号。

比如刚才那道题，2是偶数，属于“偶不变”，先把2α当成锐角，\( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \)的终边在第一象限，sin在第一象限为正，再用二倍角公式展开，就能算出正确答案。要是死记口诀，碰到α是第二象限角，2α落在第二或者第三象限的情况，根本判断不了符号，自然就做错。

我当年就是因为死记这个口诀，在诱导公式题上栽了三次，最后才把原理搞明白，之后再做这类题，从来没错过。

洛必达法则：被玩坏的“极限神器”，套牢了多少学生

前两年网上有个梗说“洛必达法则，万物皆可洛”，高中生圈子里更是把这句当成金科玉律，不管什么极限题，先洛了再说。我每次监考的时候，都能看见有学生对着一道题先写个“由洛必达法则得”，然后上下求导，结果求导求到一半发现导数的极限不存在，当场傻眼。

洛必达法则的适用条件其实就三个：第一，必须是\( \frac{0}{0} \)型或者\( \frac{\infty}{\infty} \)型的未定式，其他类型的比如\( \frac{0}{\infty} \)、\( \frac{1}{0} \)这种，根本不能用；

第二，分子分母在去心邻域内都可导，而且分母的导数不等于0；第三，分子分母求导之后的商的极限存在，或者为无穷大。很多学生就记了个“极限不会就洛”，前面两个条件完全抛在脑后。

去年带高三的时候，有个学生模考碰到一道题，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} \)，这是典型的\( \frac{0}{0} \)型，用洛必达的话，分子导数是\( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)，分母导数是1，代入x=0得\( \frac{1}{2} \)，是对的。

但要是碰到\( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{x} \)，学生一上来就洛，分子导数是\( 2x\sin\frac{1}{x} + x^2\cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) \)，化简后是\( 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x} \)，x→0的时候这个极限根本不存在，因为\( \cos\frac{1}{x} \)在-1到1之间持续震荡，但其实原式可以化简成\( \lim_{x \to 0} x\sin\frac{1}{x} \)，因为\( |x\sin\frac{1}{x}| \leq |x| \)，当x→0时极限就是0。

要是滥用洛必达，不但做不出来，还会丢步骤分。

还有的学生更离谱，碰到求\( \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x^2 + x}) \)这种∞-∞型的，也硬洛，这就完全不符合适用条件了，正确做法是分子有理化，变成\( \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \)，分子分母同除以x，变成\( \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = -\frac{1}{2} \)，比洛必达简单一百倍。

我当年高考的时候，就栽在这上面，碰到一道极限题，明明用等价无穷小就能秒，非要秀洛必达，结果求导求到